Algoritma Genetik

Goldberg (1989) menjelaskan bahwa algoritma genetik merupakan algoritma pencarian berdasarkan mekanisme seleksi alam dan genetika alam. Algoritma genetik mengkawinkan struktur string yang bertahan untuk membentuk algoritma pencarian baru. Pada setiap generasi sejumlah individu baru diciptakan melalui bagian yang kuat dari orang tuanya. Metode algoritma genetik dikembangkan oleh John Holland dan mahasiswanya di Universitas Michigan. Tujuan dari penelitian yang dilakukan adalah untuk meneliti proses adaptasi dari sistem alam serta mendesain perangkat lunak yang memiliki kecerdasan buatan dengan mencontoh mekanisme sistem alam.

Goldberg (1989) menjelaskan beberapa istilah yang digunakan dalam algoritma genetik. Istilah strings dalam sistem genetik buatan analog dengan kromosom dalam sistem biologi. Pada sistem biologi, satu atau lebih kromosom dikombinasi untuk membentuk resep genetik secara keseluruhan. Resep genetika ini digunakan untuk pembentukan dan operasi beberapa organisme.

Pada sistem alamiah, keseluruhan paket genetik disebut genotip. Pada sistem genetik buatan, keseluruhan paket strings disebut sebuah struktur. Pada sistem alamiah, organisme dibentuk oleh interaksi dari keseluruhan paket genetik dengan lingkungannya yang disebut fenotip.

Pada sistem genetik buatan, struktur di-decode untuk membentuk paket parameter, alternatif solusi, atau titik pada ruang solusi. Pada sistem alamiah, kromosom terdiri dari gen-gen, yang terdiri dari sejumlah nilai yang disebut allel. Pada genetik, posisi (locus) dari sebuah gen diidentifikasi secara terpisah dari fungsi gen. Tabel 1 menjelaskan perbandingan istilah yang digunakan oleh sistem alamiah dan algoritma genetik.

Tabel 1. Perbandingan Istilah pada Sistem Alamiah dan Algoritma Genetik.

Sistem Alamiah

Algoritma Genetik

Kromosom String
Gen Fitur, Karakter, atau detektor
Allel Nilai fitur
Locus Posisi String
Genotip Struktur
Fenotip Set parameter, solusi alternatif, struktur yang di-decode
Epitasis Non linieritas

Sumber: Goldberg (1989)

Gen dan Cheng (2000) menjelaskan bahwa secara umum algoritma genetik memiliki lima komponen dasar yang telah diringkaskan oleh Michalewicz. Lima komponen dasar tersebut adalah:

1. Sebuah genetik yang merepresentasikan solusi dari masalah.

2. Sebuah cara untuk menciptakan populasi awal dari penyelesaian masalah.

3. Sebuah fungsi evaluasi untuk menilai fitness.

4. Operator genetik yang mengubah komposisi genetik anak selama reproduksi.

5. Nilai untuk parameter algoritma genetik.

Gen dan Cheng (2000) menjelaskan bahwa algoritma genetik memelihara populasi dari individu (Pi) pada setiap generasi i. Setiap individu merepresentasikan sebuah solusi potensial. Setiap individu dievaluasi untuk dinilai fitness-nya. Setiap individu menjalani stochastic transformations dengan menggunakan opreasi genetik untuk membentuk individu baru. Ada dua jenis transformasi yang digunakan yaitu mutasi dan kawin silang (crossover). Individu baru yang disebut offspring C(i) dievaluasi kembali. Setelah beberapa generasi diharapkan setiap individu menjadi konvergen menjadi individu terbaik. Individu terbaik inilah yang diharapkan menjadi solusi optimal atau suboptimal dari masalah. Struktur umum dari algoritma genetik dijelaskan sebagai berikut:

Teroma Skema

Tahap1
Teorema skema merupakan dasar teori yang menjelaskan bagaimana Algoritma Genetik bekerja. Skema adalah keserupaan pola dalam mendeskripsikan suatu himpunanan bagian dari beberapa string yang mempunyai kesamaan pada posisi tertentu. Sebuah skema dibentuk dengan menambahkan sebuah simbol spesial, yaitu sebuah simbol * (don’t care) dalam representasi biner (0 atau 1).

Contoh: *01 adalah 101 atau 001 yaitu 5 atau 1

Tahap2
Tingkatan dari sebuah skema S(dinotasikan denga o(S)) menunjukkan jumlah dari posisi angka 0 atau 1 yang sudah tetap(Bukan posisi don’t care) yang ada dalam skema. Tingkatan ini menunjukkan spesialisasi dari sebuah skema. Contoh:

S1=(* * * 0 0 1 * 1 1 0)

S2=(* * * * 0 0 * * 0 * )

S3=(1 1 1 0 1 * * 0 0 1)

Dimana

o(S1)= 6

o(S2)= 3

o(S3)= 8

Tahap3
Batasan panjang dari skema S (dinotasikan dengan δ(S)) adalah jarak antara posisi angka 0 atau 1 yang pertama hingga terakhir. Angka ini menunjukkan kerapatan informasi yang ada dalam sebuah skema. Contoh:

δ(S1)= 10-4=6

δ(S2)= 9-5 =4

δ(S3)= 10-1=9

Procedure: Algoritma Genetik

begin

i ← 0;

initialize P(i);

evaluate P(i);

while (not termination condition) do

begin

recombine P(i);

evaluate C(i);

select P(i+1) from P(i) and C(i);

i ← i + 1;

end

end

Besarnya populasi pada setiap generasi akan mempengaruhi kecepatan konvergensi. Semakin besar jumlah populasi akan mengakibatkan konvergensi yang lambat, akan tetapi bila jumlah populasi awal semakin kecil maka dapat terjadi konvergensi prematur. Jumlah titik coba yang dipakai oleh Harb dan Matthews pada tahun 1987 adalah sebesar jumlah variabel desain ditambah 1. Box mengusulkan jumlah titik coba adalah 2 kali jumlah variabel desain. Sedangkan Biles pada tahun 1983 mengusulkan jumlah titik coba adalah jumlah variabel desain ditambah dengan 2.

Pengkodean adalah suatu teknik untuk menyatakan populasi awal sebagai kandidat solusi suatu masalah ke dalam suatu kromosom. Gen dan Cheng (2000) juga menjelaskan bahwa pengkodean merupakan kunci pokok persoalan, dalam melakukan pengkodean harus diperhatikan apakah dapat membangun pencarian genetik yang efektif menggunakan pengkodean. Beberapa prinsip untuk mengevaluasi pengkodean adalah yang diajukan oleh Rechenberg (1973) dalam Gen dan Cheng (2000):

1. Tidak berlebihan (non redundancy), pemetaan antara kode dan solusi harus 1-to-1 mapping. Pemetaan 1-to-1 menjamin tidak ada operasi sia-sia yang terjadi ketika membuat keturunan. Pada pemetaan n-to-1, algoritma genetik akan membuang waktu saat mencari, karena dua individu diduplikasi pada ruang fenotip tetapi tidak pada ruang genotip, pengukuran jarak pada ruang genotip tidak dapat memperlakukan individual sebagai identik, hal ini akan menjadikan algoritma genetik menjadi konvergen secara prematur. Pada pemetaan 1-to-n, dibutuhkan prosedur tambahan pada ruang fenotip untuk menentukan sebuah solusi di antara banyak kemungkinan solusi.

2. Legality, permutasi dari sebuah pengkodean berhubungan pada sebuah solusi. Prinsip ini menjamin bahwa sebagian besar operator genetik yang ada dapat dengan mudah diaplikasikan pada pengkodean.

3. Completeness, solusi mempunyai hubungan dengan pengkodean. Prinsip ini menjamin bahwa suatu titik pada ruang solusi dapat dicapai pada pencarian genetik.

4. Sifat Lamarckian, allel untuk sebuah gen tidak tergantung pada konteks. Sifat Lamarckian pada pengkodean berhubungan dengan apakah sebuah kromosom dapat mewariskan sifatnya pada generasi yang akan datang melalui operasi genetik. Sebuah teknik pengkodean diharapkan dapat mewariskan sifat baik orang tua.

5. Causality, berarti variasi kecil pada ruang genotip karena mutasi berimplikasi pada variasi kecil pada ruang fenotip.

Gen dan Cheng (2000) menjelaskan bahwa berdasarkan jenis simbol yang digunakan sebagai nilai suatu gen maka pengkodean dapat diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Pengkodean biner, yaitu metode pengkodean yang menggunakan bilangan biner. Metode ini banyak digunakan karena sederhana untuk diciptakan dan mudah dimanipulasi (Davis, 1991).

2. Pengkodean bilangan riil, yaitu metode pengkodean dalam bentuk bilangan riil. Masalah optimalisasi fungsi dan optimalisasi kendala lebih tepat jika diselesaikan dengan pengkodean bilangan riil karena struktur topologi ruang genotip untuk pengkodean bilangan riil identik dengan ruang fenotipnya, sehingga mudah membentuk operator genetika yang efektif dengan cara memakai teknik yang dapat digunakan yang berasal dari metode konvensional.

3. Pengkodean bilangan bulat, yaitu metode pengkodean menggunakan bilangan bulat. Pengkodean ini baik digunakan untuk masalah optimasi kombinatorial.

4. Pengkodean struktur data, yaitu model pengkodean yang menggunakan struktur data.

Goldberg (1989) mengemukakan bahwa ada empat hal yang membedakan algoritma genetik dari teknik optimasi tradisional. Perbedaan tersebut adalah:

1. Manipulasi langsung dari pengkodean.

2. Pencarian dari sebuah populasi, bukan dari single point.

3. Pencarian melalui metode sampel.

4. Pencarian menggunakan operator stochastic, bukan deterministik.

Gen dan Cheng (2000) menjelaskan bahwa selama dua dekade beberapa metode seleksi telah diperkenalkan, dipelajari dan dibandingkan. Beberapa jenis seleksi yang umum dipakai adalah:

1. Roulette wheel selection. Metode ini diajukan oleh John Holland. Ide dasarnya adalah untuk menentukan proporsi probabilitas seleksi atau probabilitas survival pada tiap kromosom sesuai dengan nilai fitness-nya. Individu dipetakan dalam suatu segmen garis secara berurutan sedemikian hingga tiap segmen individu memiliki ukuran yang sama dengan ukuran fitness-nya. Sebuah bilangan random dibangkitkan dan individu yang memiliki segmen dalam kawasan bilangan random tersebut akan terseleksi. Proses ini diulang hingga diperoleh sejumlah individu yang diharapkan.

2. (μ + λ) selection. Metode ini merupakan prosedur deterministik yang memilih kromosom terbaik dari orang tua dan keturunan. Metode ini biasanya digunakan pada masalah optimasi combinatorial.

3. Tournament selection. Metode ini memilih secara acak sejumlah kromosom dan memilih kromosom terbaik untuk reproduksi.

4. Steady-state reproduction. Pada metode ini sejumlah fitness parents yang terburuk digantikan dengan sejumlah individu baru (offspring).

5. Ranking and scaling. Ide dasar metode ini adalah mengurutkan berdasarkan ranking fitness-nya, kemudian menetapkan probabilitas seleksi tiap kromosom berdasarkan urutan ranking-nya.

6. Sharing. Teknik sharing diperkenalkan oleh Goldberg dan Richardson untuk optimasi dengan fungsi multi model. Teknik ini digunakan untuk menjaga keanekaragaman populasi. Fungsi sharing adalah sebuah cara untuk menentukan degradasi fitness individu dikarenakan jaraknya dengan tetangga. Dengan adanya degradasi, probabilitas reproduksi individu pada puncak keramaian ditahan, individu lain akan memperoleh keturunan.

Gen dan Cheng (2000) menjelaskan bahwa beberapa operator cross-over untuk pengkodean dengan bilangan riil dapat dibagi menjadi 4 metode:

1. Operator konvensional. Operator konvensional merupakan adaptasi operator biner untuk yang dipakai untuk operator bilangan riil.

2. Operator aritmatika. Konsep dasar operator jenis ini diambil dari convex set theory. Operator kawin silang (cross-over) aritmatika didefinisikan sebagai kombinasi dari dua kromosom yang menggunakan persamaan di bawah ini.

x1′ = λ1. x1 + λ2. x2

x2′ = λ1. x2 + λ2. x1

λ1 + λ1 = 1

λ1 ≥ 0

λ2 ≥ 0

3. Operator berdasarkan arah. Pada metode ini digunakan nilai dari fungsi sasaran untuk menentukan arah dari pencarian genetik. Operator akan membuat keturunan tunggal x’ dari dua orang tua x1 dan x2 sesuai dengan persamaan (21), r merupakan bilangan acak antara 0 dan 1. Diasumsikan bahwa x2 lebih baik dari x1.

x’ = r(x2 – x1) + x2

4. Operator Stokastik. Metode ini menggunakan bilangan acak untuk melakukan mutasi genetik individu. Mutasi diperlukan untuk memperluas ruang pencarian genetik, sehingga hasil optimasi tidak terjebak pada solusi optimum lokal.

Teori Evolusi

by Yohan Naftali 1 Comment

Burnie (2005) menjelaskan bahwa dalam sejarah ilmu pengetahuan, hanya sedikit gagasan yang menimbulkan perdebatan seru seperti evolusi. Namun bagi kebanyakan ilmuwan saat ini, kehidupan dan evolusi tidak dapat dipisahkan, seperti halnya materi dan gravitasi. Gagasan bahwa makhluk hidup beradaptasi dan berubah secara perlahan dari generasi ke generasi, telah dianggap sah, sehingga gagasan ini tidak lagi dianggap sebagai teori belaka, melainkan sebagai suatu paradigma yang membentuk semua aspek ilmu hayati.

Russell (2004) menjelaskan bahwa teori Darwin mengandung dua bagian. Bagian pertama mengenai doktrin evolusi yang berpendapat bahwa berbagai bentuk kehidupan berkembang secara bertahap dari suatu leluhur yang sama. Doktrin ini telah dikemukakan oleh Lamarck, dan kakek Darwin, Erasmus. Darwin menyediakan bukti yang berlimpah bagi doktrin ini. Bagian kedua dari teori Darwin adalah perjuangan untuk eksistensi dan bertahan hidupnya makhluk yang paling kuat. Semua hewan dan tumbuhan berkembang lebih cepat daripada kemampuan alam untuk menghidupi mereka, oleh sebab itu, pada setiap generasi banyak yang binasa sebelum masa reproduksi. Hewan dan tumbuhan, lazimnya tidak seratus persen sama dengan induk mereka, namun agak berbeda karena kelebihan atau cacat dalam hal karakteristik yang terukur. Di suatu lingkungan biasa tertentu, anggota-anggota spesies yang sama berjuang untuk bertahan hidup, dan anggota yang paling baik dalam beradaptasi dalam lingkungan memiliki peluang terbaik. Karena itu di antara peluang-peluang yang bervariasi itu anggota-anggota favorit akan berjumlah jauh lebih besar di kalangan anggota-anggota dewasa di setiap generasi. Jadi, dari masa ke masa, rusa akan berlari makin kencang, kucing mengintai mangsa dengan lebih hening, dan leher jerapah makin panjang. Dengan waktu yang mencukupi, mekanisme ini, demikian Darwin berpendapat, mungkin menyebabkan perkembangan yang lama dari protozoa sampai homo sapiens.

Evolusi sebagai suatu gagasan bermula lebih dari 2000 tahun yang lalu. Empedocles, seorang filsuf Yunani yang wafat kira-kira tahun 430 SM, mengusulkan bahwa alam semesta berada dalam keadaan perkembangan bertahap yang mempengaruhi baik makhluk hidup maupun benda-benda mati. Gagasannya berakar dari pemikiran abstrak ketika beberapa filsuf lainnya memperhatikan kehidupan secara terinci. Thales (hidup pada abad ke-6 SM) dan Anaximander (wafat pada tahun 547 SM) meyakini bahwa makhluk hidup pada awalnya muncul dalam atau dari air (Burnie, 2005).

Brookes (2005) menjelaskan bahwa pada pertengahan 1860-an sebagian besar ahli biologi sama-sama berpendapat bahwa pewarisan adalah sebuah proses pencampuran. Seperti mencampur cat, karakteristik induk dianggap bercampur dalam keturunannya, sehingga penampakan dan karakteristik fisik sang anak merupakan gabungan rata-rata dari karakteristik orangtuanya.

Darwin (2007) menjelaskan bahwa organ-organ yang lebih kompleks dan naluri-naluri dapat dan telah disempurnakan, bukan melalui sarana yang lebih unggul daripada (walaupun analog dengan) nalar manusia, tetapi melalui akumulasi variasi-variasi kecil yang tak terhitung banyaknya, yang masing-masing berguna bagi pemilik individualnya.

Brookes (2005) menjelaskan bahwa Jean Baptiste de Lamarck mengemukakan bahwa karakteristik yang diperoleh selama masa hidup seseorang dapat diwariskan. Lamarck menggunakan sebuah contoh mengenai leher jerapah. Menurut Lamarck Nenek moyang jerapah masa kini harus merentangkan lehernya sepanjang mungkin untuk memakan dedaunan di pepohonan tinggi di sabana Afrika. Sebagai hasilnya leher jerapah akan tumbuh sedikit lebih panjang, dan leher yang panjang akan diturunkan ke jerapah generasi berikutnya. Setelah beberapa generasi jerapah yang terus merentangkan leher, hasil akhirnya adalah jerapah berleher panjang seperti yang kita kenal saat ini.

Darwin (2007) mengemukakan bahwa prinsip ketahanan atau survival of the fittest yang disebut seleksi alam membawa peningkatan setiap makhluk dalam kaitan dengan kondisi-kondisi kehidupannya, organik maupun anorganik, dan karena itu dalam banyak kasus harus dipandang sebagai penyebab suatu kemajuan dalam organisme. Meskipun demikian, bentuk rendah dan sederhana akan tetap bertahan, jika bentuk-bentuk ini betul-betul cocok dengan kondisi-kondisi kehidupan mereka yang sangat sederhana.

Darwin (2007) berpendapat bahwa spesies dominan yang mengalahkan pesaing cenderung untuk menyebar luas dan menggantikan banyak spesies lainnya. Alph. De Candolle dalam Darwin (2007) menunjukkan bahwa spesies-spesies yang telah menyebar luas cenderung untuk terus makin menyebar sehingga mereka akan menggantikan dan menggusur habis beberapa spesies di beberapa daerah dan menghentikan penambahan jumlah bentuk-bentuk khusus yang banyak sekali di dunia.

Burnie (2005) juga menjelaskan bahwa pada tahun 1880-an Francis Galton mengajukan bahwa spesies manusia dapat ditingkatkan kualitasnya secara artifisial melalui pemijahan selektif (Eugenika). Eugenika secara harafiah berarti dari keturunan yang baik. Gagasan ini memperoleh kejayaan setelah tahun 1900-an dengan ditemukannya kembali karya Mendel tentang hereditas.

Brookes (2005) menjelaskan bahwa istilah gen pertama kali dikemukakan pada tahun 1909 oleh seorang ahli biologi Denmark bernama Wilhelm Johannsen untuk menggambarkan satu unit pewarisan. Brookes (2005) menjelaskan bahwa tidak ada dua orang yang persis sama. Bahkan kembar identik, yang memiliki komposisi genetik yang sama, tidak persis sama. Keunikan tersebut sebagian disebabkan oleh gen, yaitu suatu set instruksi yang tersandi di dalam tubuh kita. Gen seperti sebuah resep, suatu petunjuk yang membantu menentukan bagaimana tubuh kita bekerja dan bagaimana tampilan fisik kita. Gen tersusun secara linier dalam kromosom, seperti manik-manik yang teronce menjadi kalung. Hampir semua sel dalam tubuh membawa satu set kromosom yang identik. Kromosom selalu berpasangan karena salah satu dari tiap pasang kromosom diperoleh dari ibu dan satunya lagi dari ayah. Seorang manusia memiliki 46 kromosom.

DNA (Deoxyribonucleic acid) atau asam deoksiribonukleat merupakan materi genetik dari sebagian besar organisme. Tiap kromosom adalah sebuah molekul DNA yang sangat panjang. Molekul kimia penyusun DNA dinamakan nukleotida. Satu nukleotida terdiri dari satu molekul gula dan satu molekul fosfat yang terikat pada salah satu basa DNA, yaitu Timin (T), Adenin (A), Guanin (G), dan Sitosin (C). Adenin (A) selalu berpasangan dengan Timin (T), Guanin (G) berpasangan dengan Sitosin (C), sebagai akibatnya, sebuah molekul DNA adalah sepasang urutan huruf yang saling melengkapi dan berukuran sangat panjang. DNA adalah sandi universal. Satu set tiga huruf (triplet) DNA selalu menyandi asam amino yang sama, baik ketika muncul dalam resep genetik bakteri, kol, aardvark, manusia, atau spesies lainnya, misalnya satu set huruf AGC menyandi asam amino serin, TTC adalah sandi untuk asam amino fenilalanin (Brookes, 2005).

Teori Ekspektasi Rational (Ratex)

Teori ekspektasi rasional (rational expectations) diajukan pertama kali oleh John F. Muth pada tahun 1961 pada tulisannya yang berjudul “Rational Expectations and the Theory of Price Movements”. Teori ini kemudian dikembangkan oleh Robert E. Lucas Jr. untuk memodelkan bagaimana agen ekonomi melakukan peramalan di masa yang akan datang.

Sukirno (2006) menjelaskan bahwa ada 2 asumsi yang menjadi dasar teori ekspektasi rasional (rational expectations). Pertama, teori ini menganggap bahwa semua pelaku kegiatan ekonomi bertindak secara rasional, mengetahui seluk beluk kegiatan ekonomi dan mempunyai informasi yang lengkap mengenai peristiwa-peristiwa dalam perekonomian. Keadaan yang  berlaku di masa depan dapat diramalkan, selanjutnya dengan pemikiran rasional dapat menentukan reaksi terbaik terhadap perubahan yang diramalkan akan berlaku. Akibat dari asumsi ini, teori ekspektasi rasional mengembangkan analisis berdasarkan prinsip-prinsip yang terdapat dalam teori mikroekonomi yang juga bertitik tolak dari anggapan bahwa pembeli, produsen, dan pemilik faktor produksi bertindak secara rasional dalam menjalankan kegiatannya. Asumsi kedua adalah semua jenis pasar beroperasi secara efisien dan dapat dengan cepat membuat penyesuaian-penyesuaian ke arah perubahan yang berlaku. Asumsi kedua ini sesuai dengan pendapat ahli-ahli ekonomi klasik, dan merupakan salah satu alasan  yang menyebabkan teori ini dinamakan new classical economics. Menurut asumsi kedua, tingkat harga dan tingkat upah dapat dengan mudah mengalami perubahan. Kekurangan penawaran barang akan menaikkan harga, dan kelebihan penawaran mengakibatkan harga turun. Buruh yang berkelebihan akan menurunkan upah, sebaliknya kekurangan buruh akan menaikkan upah mereka. Semua pasar bersifat persaingan sempurna, dan informasi yang lengkap akan diketahui oleh semua pelaku kegiatan ekonomi di berbagai pasar.

Golongan ekspektasi rasional melahirkan pemikiran mengenai hipotesis pasar efisien. Mankiw (2006) menjelaskan bahwa ada sebuah cara dalam memilih saham untuk portofolio, yaitu memilih secara acak. Alasan dari cara ini adalah hipotesis pasar yang efisien (efficient markets hypothesis). Asumsinya adalah semua saham sudah dinilai tepat sepanjang waktu karena keseimbangan penawaran dan permintaan mengatur harga pasar. Pasar saham dianggap mencerminkan semua informasi yang tersedia mengenai nilai sebuah aset. Harga-harga saham berubah ketika informasi berubah. Kalau ada berita baik mengenai prospek suatu perusahaan, nilai dan harga saham sama-sama naik. Tapi, pada saat kapan pun, harga pasar adalah perkiraan terbaik dari nilai perusahaan yang didasarkan atas semua informasi yang tersedia.

Samuelson dan Nordhaus menyatakan bahwa pandangan teori pasar efisien terlalu sederhana dan menyesatkan, sudah banyak bukti menunjukkan tidak semua pergerakan saham diakibatkan perubahan informasi. James Tobin, seorang professor Yale pemenang hadiah nobel mengkritik teori ini, argumennya pada bursa saham amerika tanggal 15 hingga 19 oktober 1987 terjadi perubahan harga sebanyak 30% padahal tidak ada faktor yang tampak. Teori pasar efisien bungkam terhadap kritik tobin.

http://yohanli.com

Elastisitas

Konsep elastisitas berguna sekali untuk pengusaha dalam mengambil kebijakan harga yang tepat karena perubahan harga dan perubahan permintaan akan mempengaruhi besarnya penjualan, dan pada akhirnya akan mempengaruhi laba.

Asumsi dalam elastisitas adalah perubahan harga akan mempengaruhi perubahan permintaan. Harga di sini tidak terbatas dengan harga barang tersebut akan tetapi juga harga barang lainnya. Pada keadaan normal, apabila harga sebuah mobil merk X turun, maka permintaan akan kendaraan tersebut akan meningkat. Pada kejadian yang sama bila harga pesaing mobil merk X naik, maka hal ini dapat menyebabkan permintaan mobil merk X akan naik. Mobil pesaing ini disebut barang subtitusi. Di samping itu bila harga barang pelengkap/komplementer (misalkan bahan bakar) turun maka permintaan mobil merk X juga akan naik.

Elastisitas (ε) adalah indek yang menggambarkan derajat kepekaan perubahan harga bila terjadi perubahan permintaan. Indek elastisitas diketahui dengan menghitung persentase perubahan permintaan terhadap persentase perubahan harga.

Untuk menjelaskan konsep elastistas busur diilustrasikan dengan suatu barang X yang memiliki permintaan sebanyak 15 satuan pada saat harga Rp. 10. Pada saat harga barang X diturunkan menjadi Rp. 8 ternyata barang X mengalami peningkatan permintaan menjadi 25 satuan. Informasi ini dapat digunakan untuk menghitung elastisitas busur. Dengan mengetahui 2 titik (A dan B) dapat dibuat kurva permintaan (Dx).

Adanya penurunan harga maka permintaan akan naik. Apabila ditaris garis lurus antara titik A dan titik B maka didapatkan sebuah kurva permintaan (Dx) dengan slopeΔP. Perubahan permintaan juga ditunjukkan dengan jarak antara 2 titik A dan B pada sumbu horisontal sebesar ΔQ. yang menurun.

Perubahan Permintaan (ΔQ) dihitung dengan cara mencari selisih permintaan antara 2 titik. Hasil perhitungan menunjukan bahwa setelah perubahan harga terjadi kenaikan permintaan sebesar 10 satuan.

ΔQ = QB – QA

ΔQ = 25 – 15 = 10 (permintaan naik sebesar 10 satuan)
Dalam hal menghitung elastisitas busur, maka untuk menentukan permintaan (Q) adalah dengan menghitung nilai rata-rata permintaan. Nilai rata-rata didapat dengan menjumlahkan kedua permintaan dan membaginya dengan dua.

P = (10 +8)/2

P = 9 (rata-rata harga adalah sebesar Rp. 9)

Setelah mengetahui perubahan harga dan rata-rata harga maka dapat dihitung persentase perubahan harga. Persentase perubahan harga (%ΔP) dihitung dengan cara membagi perubahan harga dengan rata-rata harga.

%ΔP = ΔP/2

%ΔP = 0.2222 = 22,22% (perubahan harga sebesar 22,22%)

Setelah persentase perubahan permintaan dan persentase perubahan harga diketahui maka dapat dihitung elastisitas busur. Elastisitas busur dapat dihitung dengan cara membagi persentase perubahan permintaan dan persentase perubahan harga.

ε = %ΔQ/%ΔP

ε = – 2,25

Elastisitas busur pada contoh ini adalah sebesar -2.25, tanda negatif (-) menunjukkan bahwa arah perubahan harga berlawanan arah dengan perubahan permintaan, sehingga bila harga diturunkan maka permintaan akan naik, begitu juga sebaliknya bila harga dinaikkan maka permintaan akan turun. Angka 2,25 menunjukan magnitude dari elastisitas, semakin tinggi magnitude dari elastisitas menunjukkan semakin tingginya derajat kepekaan, dalam grafik ditunjukkan dengan garis yang semakin mendatar. Apabila magnitude elastisitas lebih kecil dari 1 maka disebut inelastik, sedangkan bila nilai elastisitas sama dengan 1 disebut unitary.

Aksioma berbisnisProfit π = R – CR = Perolehan (Revenue)C = Biaya (Cost)

Dengan kondisi yang sama seperti contoh sebelumnya, maka bila diketahui Pxo = 9, ditanyakan kebijakan harga mana yang akan diambil oleh pengusaha? Apakah akan menaikkan harga, apakah pengusaha akan menurukan harga? Atau tidak mengubah harga? Untuk mengetahuinya perlu dipahami dahulu mengenai aksioma berbisnis yaitu meningkatkan laba/profit. Profit (π) didapatkan dari mengurangi pendapatan (revenue) dengan biaya (cost). Bila diinginkan profit (π) naik maka pendapatan (R) harus dinaikkan (dalam hal ini diasumsikan tidak ada data biaya, atau perubahan biaya). Pendapatan (R) didapatkan dari harga (P) dikalikan dengan jumlah penjualan (Q).

Karena Pxo sudah ditentukan, dan fungsi permintaan sudah diketahui maka dapat dicari jumlah permintaan (Qx) pada harga Pxo = 9. Untuk menghitung ada 2 cara yaitu dengan menggunakan fungsi permintaan versi Marshall (P = f(Q)) atau menggunakan fungsi permintaan Walras (Q = f(P))

I. Metode Marshall
Fungsi permintaan pada contoh ini adalah: Px = 13 – 0,2.Qx
=> 9 = 13 – 0,2.Qx
0,2Qx = 13 – 9
Qx = 4/0,2
Qx = 20

II. Metode Walras
Px = 13 – 0,2.Qx
Sehingga Qx = (13 – Px)/0,2
Qx = 65 – 5.Px
=> Qx = 65 – 5.9
Qx = 65 – 45
Qx = 20

Perhitungan menghasilkan bahwa permintaan akan sebesar 20 satuan pada harga Rp 9. Dari perhitungan berikut ini diketahui bahwa perolehan (R) yang diperoleh adalah sebesar Rp. 180.

R = Pxo.Qx

R = 9 x 20

R = 180

Untuk mengetahui apakah harus menurunkan atau menaikkan harga. Maka dapat dicoba menghitung perolehan (R) bila harga diturunkan menjadi Px’, misal harga Px’ = 8. Alternatifnya adalah menghitung R bila harga dinaikkan menjadi Px” = 10. Karena pada harga Px’ = 8 dan Px’’ = 9, jumlah permintaan (Q) sudah diketahui maka dapat langsung dihitung perolehannya (R) dengan cara mengkalikan masing masing harga dengan jumlah permintaannya.

Hasil perhitungan perolehan (R) ditulis dalam tabel berikut ini:

Px

Qx

ε

R

10 15 -3,3 10 x 15 = 150
9 20 -5.(9/20) = -2,25 9 x 20 = 180
8 25 -1,6 8 x 5 = 200

Karena perolehan (R) pada saat harga diturunkan lebih besar daripada harga Pxo = 9 maka, pada saat harga Pxo = 9, pengusaha akan lebih untung bila menurunkan harga. Dari tabel di atas terlihat juga pada saat magnitude elastisitas turun, perolehannya (R) semakin meningkat. Sampai di sini belum diketahui apakah pada saat magnitude semakin kecil akan menghasilkan perolehan yang lebih besar lagi.

Selanjutnya dicoba untuk menurunkan harga yang mungkin menghasilkan magnitudexo = 2, berapa revenue yang didapatkan. Di sini akan ditanyakan juga kebijakan apa yang akan diambil pengusaha? Untuk mengetahuinya harus dihitung lagi perolehan (R) pada saat harga Px’ = 3 (harga dinaikkan) dan Px” = 1 (harga diturunkan). elastisitas yang cukup kecil. Oleh karena itu bila dicoba pada harga P

Pada saat Pxo = 2

Qx = 65 – 5.Px

Qx = 65 – 5.2

Qx = 65 – 10

Qx = 55

R = Pxo. Qx

R = 2.55

R = 110

Pada saat Pxo = 3

Qx = 65 – 5.Px

Qx = 65 – 5.3

Qx = 65 – 15

Qx = 50

R = Pxo. Qx

R = 3.50

R = 150 (Revenue naik)

Pada saat Pxo = 1

Qx = 65 – 5.Px

Qx = 65 – 5.1

Qx = 65 – 5

Qx = 60

R = Pxo. Qx

R = 1.60

R = 60 (Revenue turun)

Hasil perhitungan disajikan dalam bentuk tabular pada tabel berikut ini:

Px

Qx

ε

R

3 50 -5.(3/50) = -0,3 150
2 55 -5.(2/55) = -0,18 110
1 60 -5.(1/60) = -0,08 60

Dari hasil perhitungan menunjukkan bahwa pengusaha akan lebih untung bila menaikkan harga pada saat Pxo = 2, karena menghasilkan revenue yang lebih tinggi. Di sini diperlihatkan bahwa dengan penurunan magnitude elastisitas justru terjadi penurunan perolehan.

Lalu apa gunanya elastisitas (ε) ? Untuk mengetahuinya, tabel sebelumnya disusun kembali menjadi satu tabel. Tabel berikut ini menunjukkan bahwa adanya perbedaan hubungan antara indek elastisitas di atas 1 dan indek elastisitas di bawah 1.

Px

Qx

ε

R

10 15 -3,3 150
9 20 -2,25 180
8 25 -1,6 200
3 50 -0,3 150
2 55 -0,18 110
1 60 -0,08 60

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa

Bila index elastisitas > 1 (elastik) maka akan menguntungkan bila harga diturunkan karena Revenue yang didapat lebih tinggi

ε > 1 => (P↓ → R↑)

Bila index elastisitas < 1 (inelastik) maka akan menguntungkan bila harga dinaikkan karena revenue yang didapat lebih tinggi

ε < 1 => (P↑ → R↑)

Jadi index elastisitas juga dapat untuk menentukan kebijakan harga, fungsi permintaan dimanfaatkan pengusaha untuk mengambil keputusan yang tepat dalam kebijakan harga. Perlu diingat dalam elastisitas harus dibedakan antara sign of elasticity dan magnitude of elasticity, indek elastisitas yang dimaksud oleh pernyataan di atas adalah magnitude-nya

Lebih jauh dengan fungsi permintaan dan elastisitas

Pada pembahasan sebelumnya, hanya dibicarakan mengenai elastisitas harga sendiri (own price elasticity), sedangkan elastisias sendiri ada bermacam-macam, karena perubahan permintaan tidak hanya dipengaruhi oleh perubahan harga sendiri akan tetapi juga dipengaruhi oleh harga lainnya. Pada prinsipnya elastisitas adalah derajat perubahan suatu faktor terhadap perubahan permintaan. Elastisitas dihitung dengan melakukan turunan/derivasi parsial fungsi permintaan. Untuk menentukan apakah suatu jenis barang adalah barang komplementer atau barang subtitusi, dapat dilihat tanda dari indek elastisitasnya. Bila tandanya negatif, maka barang tersebut merupakan barang komplementer, sedangkan bila tandanya positif, barang tersebut merupakan barang subtitusi, dengan syarat ceteris paribus.

Fungsi umum permintaan:

Qdx = f(Px, Pk, Ps, M, ε)

Px = harga barang

Pk = harga barang komplementer

Ps = harga barang subtitusi

M = income

ε = disturbance term error (bedakan dengan ε elastisitas)

Sedangkan untuk disturbance term error, termasuk di dalamnya adalah selera (taste). Elastisitas pada faktor lainnya sulit/tidak dapat dihitung karena sifatnya unquantifiable, unmeasureable, unobservable, unrecordable.

Perilaku konsumen digambarkan dalam persamaan fungsi permintaan, secara umum dan ceteris paribus, perilaku konsumen dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Permintaan suatu barang cenderung naik apabila harga barang tersebut mengalami penurunan.

2. Permintaan suatu barang cenderung naik apabila harga barang pelengkapnya (komplementer) mengalami penurunan.

3. Permintaan suatu barang cenderung naik apabila harga barang subtitusinya mengalami kenaikan.

4. Dalam hubungannya dengan perubahan tingkat pendapatan (income), maka barang dapat dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu barang superior, barang inferior, dan barang netral. Permintaan akan barang superior cenderung naik apabila tingkat pendapatan naik. Permintaan akan barang inferior cenderung turun apabila tingkat pendapatan naik. Permintaan akan barang netral tidak mengalami perubahan walaupun terjadi perubahan tingkat pendapatan.

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

First Publised: 2 November 2007

Revision: 6 August 2009

Definisi

Definisi: Sebuah model yang menggambarkan hubungan antara risiko dan return yang diharapkann, model ini digunakan dalam penilaian harga sekuritas (A model that describes the relationship between risk and expected return and that is used in the pricing of risky securities) (Investopedia, http://www.investopedia.com/terms/c/capm.asp)

Model CAPM diperkenalkan oleh Treynor, Sharpe dan Litner. Model CAPM merupakan pengembangan teori portofolio yang  dikemukan oleh Markowitz dengan memperkenalkan istilah baru yaitu risiko sistematik (systematic risk) dan risiko spesifik/risiko tidak sistematik (spesific risk /unsystematic risk). Pada tahun 1990, William Sharpe memperoleh nobel ekonomi atas teori pembentukan harga aset keuangan yang kemudian disebut Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Bodie et al. (2005) menjelaskan bahwa Capital Asset Pricing Model (CAPM) merupakan hasil utama dari ekonomi keuangan modern.Capital Asset Pricing Model (CAPM) memberikan prediksi yang tepat antara hubungan risiko sebuah aset dan tingkat harapan pengembalian (expected return). Walaupun Capital Asset Pricing Model belum dapat dibuktikan secara empiris, Capital Asset Pricing Model sudah luas digunakan karena Capital Asset Pricing Model akurasi yang cukup pada aplikasi penting.

Capital Asset Pricing Model mengasumsikan bahwa para investor adalah perencana pada suatu periode tunggal yang memiliki persepsi yang sama mengenai keadaan pasar dan mencari mean-variance dari portofolio yang optimal. Capital Asset Pricing Model juga mengasumsikan bahwa pasar saham yang ideal adalah pasar saham yang besar, dan para investor adalah para price-takers, tidak ada pajak maupun biaya transaksi, semua aset dapat diperdagangkan secara umum, dan para investor dapat meminjam maupun meminjamkan pada jumlah yang tidak terbatas pada tingkat suku bunga tetap yang tidak berisiko (fixed risk free rate). Dengan asumsi ini, semua investor memiliki portofolio yang risikonya identik.

Capital Asset Pricing Model menyatakan bahwa dalam keadaan ekuilibrium, portofolio pasar adalah tangensial dari rata-rata varians portofolio. Sehingga strategi yang efisien adalah passive strategy. Capital Asset Pricing Model berimplikasi bahwa premium risiko dari sembarang aset individu atau portofolio adalah hasil kali dari risk premium pada portofolio pasar dan koefisien beta.

Risiko dan Return

Keinginan utama dari investor adalah meminimalkan risiko dan meningkatkan perolehan (minimize risk and maximize return). Asumsi umum bahwa investor individu yang rasional adalah seorang yang tidak menyukai risiko (risk aversive), sehingga investasi yang berisiko harus dapat menawarkan tingkat perolehan yang tinggi (higher rates of return), oleh karena itu investor sangat membutuhkan informasi mengenai risiko dan pengembalian yang diinginkan.

Risiko investasi yang dihadapi oleh investor (Rose, Peter S., dan Marquis, Milton H. 2006. Money and Capital Markets, Ninth Edition, p 277-280):
1. Market Risk (risiko pasar), sering disebut juga sebagai interest rate risk, nilai investasi akan menjadi turun ketika suku bunga meningkat mengakibatkan pemilik investasi mengalami capital loss.
2. Reinvestment risk, risiko yang disebabkan sebuah aset akan memiliki yield yang lebih sedikit pada beberapa waktu di masa yang akan datang.
3. Default risk. Risiko apabila penerbit aset gagal membayar bunga atau bahkan pokok aset.
4. Inflation risk. Risiko menurunya nilai riil aset karena inflasi.
5. Currency risk. Risiko menurunnya nilai aset karena penurunan nilai tukar mata uang yang dipakai oleh aset.
6. Political risk. Risiko menurunya nilai aset karena perubahan dalam peraturan atau hukum karena perubahan kebijakan pemerintah atau perubahan penguasa.

Suku bunga bank sentral tentunya masih berpotensi memiliki semua risiko, akan tetapi diasumsikan negara tidak mungkin gagal membayar (walaupun ada juga kemungkinannya), oleh karena itu biasanya return dari risk free aset (Rf) digunakan suku bunga bank sentral.

Capital Asset Pricing Model (CAPM) mencoba untuk menjelaskan hubungan antara risk dan return. Dalam penilaian mengenai risiko biasanya saham biasa digolongkan sebagai investasi yang berisiko. Risiko sendiri berarti kemungkinan penyimpangan perolehan aktual dari perolehan yang diharapkan (possibility), sedangkan derajat risiko (degree of risk) adalah jumlah dari kemungkinan fluktuasi (amount of potential fluctuation).

Saham berisiko dapat dikombinasi dalam sebuah portfolio menjadi investasi yang lebih rendah risiko daripada saham biasa tunggal. Diversifikasi akan mengurangi risiko tidak sistematis (unsystematic risk), tetapi tidak dapat mengurangi risiko yang sistematis (systematic risk). Unsystematic risk adalah bagian dari risiko yang tidak umum dalam sebuah perusahaan yang dapat dipisahkan. Systematic risks adalah bagian yang tidak dapat dipisahkan yang berhubungan dengan seluruh pergerakan pasar saham dan tidak dapat dihindari.

Informasi keuangan mengenai sebuah perusahaan dapat membantu dalam menentukan keputusan investasi. Investor biasanya menghindari risiko, investor menginginkan perolehan tambahan (additional returns) untuk menanggung risiko tambahan (additional risks). Oleh karena itu saham berisiko tinggi (High-risk securities) harus mempunyai harga yang menghasilkan perolehan lebih tinggi daripada perolehan yang diharapkan dari saham berisiko lebih rendah.

Persamaan CAPM

Persamaan risiko dan perolehan (Equation Risk and Return) adalah :

Rs = Rf + Rp

Rs = Expected Return on a given risky security

Rf = Risk-free rate

Rp = Risk premium

Bila nilai β = 1 artinya adanya hubungan yang sempurna dengan kinerja seluruh pasar seperti yang diukur indek pasar (market index), contohnya nilai yang diukur oleh Dow-Jones Industrials dan Standard and Poor’s 500-stock-index. Hubungan ini dapat digambarkan dalam contoh pada gambar.

β adalah ukuran dari hubungan paralel dari sebuah saham biasa dengan seluruh tren dalam pasar saham.

Bila β > 1.00 artinya saham cenderung naik dan turun lebih tinggi daripada pasar.

β < 1.00 artinya saham cenderung naik dan turun lebih rendah daripada indek pasar secara umum (general market index).

Perubahan persamaan risiko dan perolehan (Equation Risk and Return) dengan memasukan faktor β dinyatakan sebagai:

Rs = Rf + βs (Rm – Rf)

Rs = Expected Return on a given risky security

Rf = Risk-free rate

Rm = Expected return on the stock market as a whole

βs = Stock’s beta, yang dihitung berdasarkan waktu tertentu

CAPM bertahan bahwa harga saham tidak akan dipengaruhi oleh unsystematic risk, dan saham yang menawarkan risiko yang relatif lebih tinggi (higher βs) akan dihargai relatif lebih daripada saham yang menawarkan risiko lebih rendah (lower βs). Riset empiris mendukung argumen mengenai βs sebagai prediktor yang baik untuk memprediksi nilai saham di masa yang akan datang (future stock prices).

CAPM dikritik sebagai penyebab masalah kompetisi di Amerika Serikat. Manajer di sebuah perusahaan di Amerika Serikat yang menggunakan CAPM terpaksa membuat investasi yang aman dalam jangka pendek dan perolehannya dapat diprediksi dalam jangka pendek daripada investasi yang aman dan perolehan dalam jangka panjang. Para peneliti telah menggunakan CAPM untuk menguji hipotesa yang berhubungan dengan hipotesa pasar efisien.

Markowitz dan Market Model

William Sharpe dalam membangun model CAPM diilhami dari teori portofolio yang diajukan oleh Harry Markowits. Markowitz mengusulkan sebuah model untuk menjelaskan korelasi diantara return sekuritas. Model ini mengasumsikan bahawa return dari sekuritas ke-i tergantung pada sebuah faktor yang mendasari, nilai yang diwakili oleh indeks, dalam notasi matematika dinyatakan sebagai:

ri = ai + Bi.F + ui

ri = return sekuritas i

Bi = Beta dari sekuritas i

F = indeks (belum tentu indeks pasar)

ui = error term

(walaupun selanjutnya markowitz mengusulkan bahwa persamaan itu seharusnya tidak linier, karena ada faktor lain yang mendasarinya)

Kemudian pada tahun 1963, William Sharpe menguji persamaan tersebut sebagai penjelasan bagaimana return sekuritas cenderung naik dan turun seiring dengan naik turunnya indeks umum pasar, secara spesifik Sharpe menggunakan persamaan sebagai berikut:

rit = ai + Bi.rmt + uit

rit = return dari aset i pada periode t

rmt = return dari indeks pasar pada periode t

ai = komponen non-pasar dari return aset i

Bi = rasio kovarian dari return aset i dan return indeks pasar terhadap varians return indeks pasar

uit = zero mean random error term

Model ini disebut model pasar indeks tunggal (single index market model) atau sering disebut market model.

Dilihat disini pada model markowitz, indeks-nya belum tentu indeks pasar, tetapi pada market model digunakan indeks pasar.

 

Aplikasi CAPM

Model yang dikembangkan CAPM menjelaskan bahwa tingkat return yang diharapkan adalah penjumlahan dari return aset bebas risiko dan premium risiko. Premium risiko dihitung dari beta dikalikan dengan premium risiko pasar yang diharapkan. Premium risiko pasar sendiri dihitung dari tingkat return pasar yang diharapkan dikurangi dengan tingkat return aset bebas risiko. Bentuk matematika CAPM

Rs = Rf + βs (Rm – Rf)

Rf biasanya didekati dengan tingkat return suku bunga bank sentral, di Indonesia umumnya risk free aset didekati dengan tingkat return suku bunga Bank Indonesia.

βs didekati dengan menghitung data time series saham dengan data return pasarnya. Penjelasan mengenai cara menghitung beta disertakan di bagian akhir artikel ini.

Rm didapatkan dengan meramalkan return IHSG. Banyak mahasiswa yang bingung mendapatkan nilai Rm yang negatif, biasanya mereka menghitung IHSG dengan cara memprediksi historisnya yaitu dengan membandingkan return IHSG tahun x dengan return IHSG tahun x-1. Dari definisi CAPM bahwa Rm adalah tingkat return pasar yang diharapkan, bukan tingkat return pasar yang periode yang lalu. Untuk mendapatkan nilai Rm tentunya harus dapat memprediksi berapa tingkat return IHSG yang diharapkan. Salah satu cara memprediksi IHSG adalah dengan cara analisis faktor. Di sini anda harus melakukan studi empiris, anda harus menentukan faktor-faktor yang mempengaruhi IHSG, kemudian membuat persamaan regresi dari IHSG dan faktor yang mempengaruhinya.  Dan terakhir anda harus memprediksi nilai dari faktor yang mempengaruhi IHSG untuk x periode yang anda tentukan. Cara lainnya adalah menggunakan nilai IHSG dari hasil penelitian empiris dari peneliti lain.

Contoh Aplikasi Menghitung Rs

Suatu sekuritas x yang mempunyai Expected Return 0.27 (27% per tahun) dan nilai betanya 1.2, apakah sekuritas x ini layak di beli atau tidak?

Rs = Rf + βs (Rm – Rf)

Rf = misal SBI 1 bulan saat ini adalah 0.06 (6% per tahun)

Rm = misal return IHSG yang diharapkan saat ini adalah 0.26 (26% per tahun, didapatkan dengan cara memprediksi return)

βs = 1.2

Sehingga
Rs = 0.06 + 1.2 (0.26 – 0.06)
Rs = 0.06 + 1.2 (0.2)
Rs = 0.06 + 0.24
Rs = 0.3 (30%)

Kesimpulan, dengan nilai beta 1.2, apabila return yang diperoleh hanya 27%, maka harga sekuritas terlalu mahal, karena return wajarnya adalah 30%

Contoh cara menghitung Beta

Nilai β dapat dihitung sendiri menggunakan data time series suatu saham/industri dan time series return suatu pasar (misalnya IHSG, NYSE, dll),

Contoh perhitungan:

Return saham X dibandingkan dengan pasar

tahun 1-return saham X = -0.05, return pasar -0.12

tahun 2-return saham X = 0.05, return pasar = 0.01

tahun 3-return saham X = 0.08, return pasar = 0.06

tahun 4-return saham X = 0.15, return pasar = 0.10

tahun 5-return saham X = 0.10, return pasar = 0.05

Sehingga rata-rata return saham X adalah 0.066

Menghitung deviasi return saham X

tahun 1 = -0.1160

tahun 2 = -0.0160

tahun 3 = 0.0140

tahun 4 = 0.0840

tahun 5 = 0.0340

Rata-rata return pasar adalah 0.02 sehingga deviasi return pasar:

tahun 1 = -0.14000

tahun 2 = -0.0100

tahun 3 = 0.0400

tahun 4 = 0.0800

tahun 5 = 0.0300

Kalikan masing masing deviasi return saham dengan deviasi return pasar:

tahun 1 = -0.1160 x -0.14000 = 0.0162

tahun 2 = -0.0160 x -0.0100 = 0.0002

tahun 3 = 0.0140 x 0.0400 = 0.0006

tahun 4 = 0.0840 x 0.0800 = 0.0067

tahun 5 = 0.0340 x 0.0300 = 0.0010

Jumlah = 0.0247

Pangkat duakan deviasi return pasar

tahun 1 = -0.14000^2 = 0.0196

tahun 2 = -0.0100^2 = 0.0001

tahun 3 = 0.0400^2 = 0.0016

tahun 4 = 0.0800^2 = 0.0064

tahun 5 = 0.0300^2 = 0.0009

Jumlah = 0.0286

Sehingga Beta untuk saham X adalah 0.0247/0.0286 = 0.86

External Reference:

Burton, Jonathan. 1998. Revisiting The Capital Asset Pricing  Model. Dow Jones Asset Manager, May/June 1998, pp. 20-28 [Also Available at http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/djam/djam.htm]

How to cite:

Naftali, Yohan. Capital Asset Pricing Model (CAPM). Yohan Naftali. 2 November 2007, Revisi 6 Agustus 2009. Yohan Naftali. http://yohanli.com/2007/11/capital-asset-pricing-model-capm [Accessed date].